Modello matematico di opzione

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Costituiscono in ambito matematico la ricerca di base, curiosity drivenquella che non si pone tante questioni sulla propria utilità, contrapposta a quella invece che applica risultati trovati precedentemente per risolvere specifiche situazioni o che comunque trae le motivazioni del proprio sviluppo da problemi concreti o suggeriti dalle altre discipline.

Modello matematico di opzione ultimi 2—3 decenni, i rapporti tra Matematica pura ed applicata sono profondamente cambiati. Le ragioni del cambiamento sono molteplici. C'è stato il naturale esaurimento di un paradigma che non aveva esitato a dichiarare che l'applicabilità di una teoria matematica — se mai si fosse verificata — doveva considerarsi solo una fortuita coincidenza. C'è stata la naturale reazione all'esasperazione di questo atteggiamento, oltretutto non più confortato dalla profondità dei risultati prodotti.

C'è stata soprattutto la diffusione del computer che, tra le tante cose, ha cambiato anche il modo di fare Matematica. Non a caso parlavamo di un cambiamento avvenuto nell'ultimo quarto del secolo precedente.

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Nel frattempo si sono anche allargati i confini dei territori cui la Matematica viene applicata. Questa è una storia più lunga, che risale ben prima dell'introduzione del computer. Storicamente, il calcolo si è sviluppato assieme alla Fisica e all'Astronomia. Poi, con il finire dell'Ottocento, ha via via riguardato l'Economia, la Biologia, la dinamica delle popolazioni, la Chimica, ecc.

Dalla Matematica — diceva — non bisogna aspettarsi troppo. Pur essendosi occupato anche di analisi economica, Volterra non poteva prevedere che la Matematica si sarebbe pure presa cura dei nostri soldi, nel tentativo di farci capire dove investire e da quali investimenti stare invece alla larga.

Effettivamente, tra i settori dove lo strumento matematico sta mostrando negli ultimi decenni un'insospettata creatività c'è proprio la Finanza e la gestione dei rischi finanziari. Nulla a che vedere con la tradizionale Matematica finanziaria e il calcolo di un montante, di interessi o di uno sconto.

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Il contesto non è più deterministico. L'aleatorietà è una componente essenziale nell'analisi dei mercati finanziari, caratterizzati da rischi elevati e da oscillazioni imprevedibili.

Il numero degli attori, la diversità dei loro interessi e la complessità delle loro interazioni è davvero notevole. Wolfgang Runggaldier, professore ordinario di Probabilità e Statistica a Padova, è stato il primo in Italia ad avvertire l'importanza di questi studi. Norbert Wiener La Finanza matematica si è sviluppata soprattutto con la diffusione dei nuovi prodotti finanziari, i derivatie l'interesse per la previsione dei loro prezzi.

Non si tratta più dei beni tradizionalmente negoziati sul mercato azioni, obbligazioni, valute ecc. I derivati sono strumenti finanziari il cui valore dipende dalle quotazioni di un bene — il sottostante — e che fissano un pagamento futuro in funzione dell'evoluzione del valore del sottostante. E' una sorta di assicurazione. Un modo di ammortizzare il rischio derivante dal mercato, dalle caratteristiche finanziarie del titolo, dalla situazione socio-politica ecc.

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Tutti fattori difficilmente prevedibili in sé e per l'incidenza che avranno. Si parla di contratti a termine forward o future quando modello matematico di opzione contratto prevede l'obbligo alla compravendita. Si parla invece di opzioni quando l'obbligo si trasforma nella facoltà di acquistare o vendere il sottostante a scadenza. Ancora più in particolare si parla di opzioni europee o americane : la distinzione non è geografica, ma riferita alla scadenza.

Per quelle europee, l'opzione deve essere esercitata ad una scadenza fissata; per quelle americane, entro una scadenza massima. L'opzione call dà diritto, a chi la detiene, di comprare l'attività sottostante ad un prezzo prefissato ; il detentore dell'opzione si muove quindi in un'ottica rialzista e scommette sul fatto che, a scadenza, il prezzo del sottostante sarà superiore all'attuale.

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L'opzione put conferisce invece il diritto di vendere: in questo caso, l' holder ha invece un'aspettativa ribassista sul prezzo del sottostante e vuole limitare la perdita. La diffusione dei prodotti derivati risale alla fine degli anni ' In Italia, la comparsa delle opzioni finanziarie, con l'indice azionario MIB30, è del anche se quelle valutarie erano state autorizzate già da una decina d'anni. L'elemento clou è il prezzo fissato per le opzioni.

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Modello matematico di opzione dal valore del sottostante e dalla sua evoluzione, aleatoria, nel tempo e questo spiega perché i modelli stocastici dei prezzi costituiscano la base per il pricing di ogni derivato.

La valutazione di un'opzione è un'operazione complessa -deve collegare in un'unica formula matematica tutte le variabili che intervengono nel fenomeno e nella sua evoluzione temporale- ma dal ha un nome, la formula di Black e Scholesgeneralmente considerata accettabile e di facile applicazione.

Anche la data del ha comunque una storia alle spalle. Kiyosi Ito Possiamo farla cominciare con Louis Bachelieruno studente di Matematica francese, nato a Le Havre in una agiata famiglia di commercianti. Neldiscusse con il grande Henry Poincaré la sua tesi di dottorato su la Théorie de la Spéculation intesa come studio dell'indice borsistico e della compravendita dei titoli di stato alla Borsa di Parigi.

Fatto sta che, anche per colpa del suo carattere, Bachelier ebbe poi una vita accademica stentata, trascorsa nelle Università di provincia. A Parigi, insomma, non arriverà mai. Il suo contributo alla teoria finanziaria, e più in generale all'analisi delle dinamiche probabilistiche in tempo continuo, verrà riscoperto solo molto più tardi.

Opzione matematica

Le loro variazioni non vengono influenzate da quelle precedenti. Si parlerà di processo markoviano. Nel suo studio, Bachelier fu anche aiutato dalla singolare analogia che aveva colto tra il fenomeno finanziario e quello già analizzato della diffusione del calore. Fenomeni dunque completamente diversi, ma regolati da leggi matematiche molto simili. Dopo Bachelier, naturalmente, la storia continua. Troviamo anche un giapponese, di cui ci occuperemo tra poco. In estrema sintesi possiamo dire che, nella prima metà del Novecento, la Finanza viene ancora considerata come una disciplina distinta dall'Economia e sviluppata soprattutto nei suoi aspetti legali e istituzionali, oltre che nei calcoli della pratica quotidiana.

E' solo nei primi decenni dopo la seconda guerra mondiale che diventa oggetto di una strutturata e specifica teoria economica. Nelarriva il contributo di Black e Scholes. Anche la loro storia merita di essere raccontata. E' qui che comincia a mettere gli occhi e la testa sul problema della valutazione delle operazioni finanziarie a rischio.

In quegli anni, arriva al MIT — per insegnare Finanza — un giovane economista canadese che si era specializzato a Chicago, Myran Scholes. I due si incontrano, si capiscono ed elaborano il loro modello - l'equazione di Black e Scholes — basato modello matematico di opzione che la valutazione di un contratto dipenda unicamente dai termini del contratto e dalla volatilità del titolo sottostante.

L'esordio non è facile, anche perché Black non è un accademico.

Formula di Black e Scholes

Nelper la loro teoria sul prezzo delle opzioni Scholes vincerà il premio Nobel per l'Economia assieme a Robert C. Merton figlio del celebre sociologo Robert K. Black era scomparso due anni prima, per un tumore alla gola. Non è neppure privo di significato che la Texas Instruments inizi a pubblicizzare le sue calcolatrici, presentandole come lo strumento più adatto per applicare numericamente la formula di Black e Scholes.

Stiamo parlando di un'equazione differenziale alle derivate parziali, non stocastica anche se originata da un modello probabilistico!

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Tra le ipotesi che permettono la costruzione del modello c'è quella che il prezzo dell'opzione e del sottostante siano influenzati dalla stessa fonte di incertezza e che, con un appropriato portafogli di azioni e di opzioni, si riesca a compensare la variabilità del prezzo delle prime con la variabilità del prezzo delle opzioni.

Dicevamo che, in questa storia e in questa equazione, è coinvolto anche un giapponese. E' il matematico Kiyosi Ito che, nelestese l'integrale stocastico di Wiener.

Approfondimenti di matematica finanziaria Obiettivi Saper interpretare, formalizzare e definire le operazioni di scambio fra situazioni economico-finanziarie applicando il principio di equivalenza finanziaria; conoscere e saper distinguere i vari tipi di rendita; conoscere i metodi di costituzione di un capitale e di ammortamento di un prestito e sapere elaborare un piano di costituzione di capitale o di ammortamento di un prestito; cogliere i collegamenti tra problemi relativi alla costituzione di un capitale o all'ammortamento di un prestito e i problemi vari relativi alle rendite. Contenuti Ripresa delle conoscenze e competenze riguardanti la capitalizzazione semplice e composta; tassi equivalenti; sconti commerciale, razionale e composto ; rendite temporanee e perpetue, immediate e differite: montante e valore attuale; problemi relativi a situazioni finanziarie nelle quali intervengono le rendite. Costituzione di un capitale mediante versamenti posticipati o anticipati; modificare un piano originario di costituzione di un capitale.

Naturalmente il matematico giapponese poteva pensare a tutto, dove fare davvero dei bei soldi al fatto che il suo integrale, tramite i cosiddetti processi di Ito e il lemma che porta sempre il suo nome, sarebbe stato qualche decennio dopo uno dei mattoni più rilevanti per la costruzione del modello di Black e Scholes.

Robert C.

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Merton L'equazione del costituisce comunque solo l'avvio delle indagini più recenti, talora critiche nei confronti dell'impostazione seguita da Black e Scholes. Myron Scholes La ricerca va avanti e cresce l'interesse per i suoi risultati. Anche in Italia gli sbocchi occupazionali, nel campo della Finanza matematica, sono molto concreti.

Si occupa di ottimizzazione e di Storia della matematica. Matematica, giochi, idee sul mondo". Modello matematico di opzione recentemente pubblicato i volumi "Con la testa tra le nuvole? Dallo stesso autore.

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